Geometria Analitica

Em um projeto de infraestrutura urbana, dois marcos de referência estão localizados no plano cartesiano, com coordenadas A(10, 10) e B(40, 50), e medidas em metros. Para definir o traçado de uma tubulação, o engenheiro precisa calcular a distância em linha reta entre esses dois pontos. Qual é a medida dessa distância?

Na geometria analítica, o estudo das propriedades das retas e dos segmentos de reta é preponderante para analisar relações entre pontos no plano cartesiano. Acerca deste conhecimento, julgue as afirmativas a seguir: I.O ponto médio do segmento de reta que une os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) pode ser determinado pelas médias aritméticas das coordenadas dos pontos. II.Três pontos P(x1, y1), Q(x2, y2) e R(x3, y3) são colineares se o determinante da matriz formada pelas coordenadas homogêneas dos pontos for maior ou igual a 1. III.O coeficiente angular de uma reta é dado pela razão entre a variação das ordenadas e a variação das abscissas de dois pontos distintos da reta, sendo definido por m = (y2 - y1)/(x2 - x1), desde que x1 ≠ x2. IV.Duas retas são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1, desde que ambas tenham coeficientes angulares definidos. Assinale a alternativa correta:

Na geometria analítica, o estudo das propriedades das retas e dos segmentos de reta é preponderante para analisar relações entre pontos no plano cartesiano. Acerca deste conhecimento, julgue as afirmativas a seguir: I.O ponto médio do segmento de reta que une os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) pode ser determinado pelas médias aritméticas das coordenadas dos pontos. II.Três pontos P(x1, y1), Q(x2, y2) e R(x3, y3) são colineares se o determinante da matriz formada pelas coordenadas homogêneas dos pontos for maior ou igual a 1. III.O coeficiente angular de uma reta é dado pela razão entre a variação das ordenadas e a variação das abscissas de dois pontos distintos da reta, sendo definido por m = (y2 - y1)/(x2 - x1), desde que x1 ≠ x2. IV.Duas retas são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1, desde que ambas tenham coeficientes angulares definidos. Assinale a alternativa correta:

Durante a análise de um mapa digital, identificam-se dois sensores instalados nos pontos A(3, 7) e B(-5, 1). O supervisor precisa saber a distância entre esses sensores para definir o comprimento mínimo do cabo que conectará ambos. Utilizando o metro como unidade de medida, indique a alternativa que informa a distância correta entre eles.

Em um levantamento topográfico simplificado, dois pontos de referência foram marcados no plano: P(2, 3) e Q(10, -1). A equipe precisa calcular a distância real entre esses pontos para ajustar os limites de uma área retangular em estudo. Considerando as medidas em quilômetros, determine a distância entre P e Q.

Sejam V1, V2, V3, ..., V9, V10 os dez vértices de um decágono regular convexo, nomeados no sentido horário. Sejam D1, D2 e D3, respectivamente, as distâncias de V1 a V4, de V2 a V6 e de V5 a V9. É correto afirmar que

Ao instalar dois roteadores industriais em um galpão, o técnico determinou a posição de cada um de acordo com um sistema de coordenadas cartesianas em metros. Um roteador foi instalado no ponto A(-3, -25) e o outro no ponto B(6, 15). Considerando o espaço como perfeitamente plano e sem obstáculos, qual será a distância entre os dois roteadores?

Ao instalar dois roteadores industriais em um galpão, o técnico determinou a posição de cada um de acordo com um sistema de coordenadas cartesianas em metros. Um roteador foi instalado no ponto A(-3, -25) e o outro no ponto B(6, 15). Considerando o espaço como perfeitamente plano e sem obstáculos, qual será a distância entre os dois roteadores?

Durante a análise de um mapa digital, identificam-se dois sensores instalados nos pontos A(3, 7) e B(-5, 1). O supervisor precisa saber a distância entre esses sensores para definir o comprimento mínimo do cabo que conectará ambos. Utilizando o metro como unidade de medida, indique a alternativa que informa a distância correta entre eles.

Retas tangentes a uma circunferência tocam em apenas um ponto na circunferência. A interseção entre o raio e uma dessas retas no ponto de tangência fornece um cruzamento perpendicular.Na ilustração acima PQ e QR são segmentos tangentes a circunferência de raio r e centro O. Se r e PQ medem 8 cm e 10 cm respectivamente, a distância aproximada entre os pontos P e O é:

Em uma homotetia de razão k = 0,5, aplicada a um triângulo no plano, é correto afirmar que:

A prefeitura do município X está planejando construir uma nova avenida que ligará os pontos A (1,2) e B (7,10), considerando um plano cartesiano em que cada unidade equivale a 100 metros. De acordo com esse planejamento, qual será o comprimento total dessa avenida?

Ao instalar dois roteadores industriais em um galpão, o técnico determinou a posição de cada um de acordo com um sistema de coordenadas cartesianas em metros. Um roteador foi instalado no ponto A(-3, -25) e o outro no ponto B(6, 15). Considerando o espaço como perfeitamente plano e sem obstáculos, qual será a distância entre os dois roteadores?

A prefeitura da cidade de Ecolândia está delimitando uma pequena reserva ambiental com árvores nativas, em formato circular de raio r = 60 metros, que será aberta para visitação, por isso terá uma estrada retangular no seu centro, conforme demonstra a imagem abaixo. De acordo com as informações dadas, qual será a área (A) de efetiva preservação das espécies nativas? (faça π= 3,14)

Uma empresa especializada em mapeamento aéreo, que utiliza drones para monitorar terrenos agrícolas, registrou dois pontos de interesse em uma plantação, que configurados no plano cartesiano foram marcados como ponto A(2, 3) e o ponto B(8, 11), representando a localização de sensores de umidade instalados na região. Para programar a rota do drone entre os dois pontos, a equipe precisa calcular a distância direta (reta) entre A e B. Considerando essa medida em quilômetros, qual é a distância entre os dois sensores?

Um apicultor de Mineiros resolveu vender o mel das abelhas que cria em duas embalagens diferentes, lata e caixa. Qual embalagem de mel se torna mais vantajosa em termos de custo-benefício: a lata com raio de 8 cm e altura de 3 cm ou a caixa formato paralelepípedo com dimensões de 10 cm por 8 cm por 16 cm? O mel é vendido na lata por R$ 6,02 (a unidade), enquanto o mel na caixa é vendido por R$ 6,92. A sequência CORRETA é:

Para um dado número real k, considere o triângulo do plano cartesiano xy cujos vértices são os pontos A(k,7), B(3,1) e C(9,1). A soma de todos os valores de k para os quais ABC é um triângulo retângulo é

Durante uma obra, dois pontos foram marcados no chão com GPS: o ponto A(4, 2) indica o início do canteiro de obras, e o ponto B(10, 6) indica o fim. Qual é a coordenada exata do ponto médio do canteiro?

No plano cartesiano xy, considere os seguintes pontos: A(9,3), B(12,7), C(4,4), D(14,5) e E(11, -1). Entre os pontos B, C, D e E, quantos são os que distam menos que 5 do ponto A?

Um mapa foi disposto sobre o plano cartesiano xy e representou a localização de dois pontos turísticos pelos pontos A(1, -2) e B(3,4). As coordenadas do ponto do segmento que liga os pontos A e B, e que é equidistante desses dois pontos, é

Considere, no plano cartesiano, os pontos A (1,2) e B (5,2). Assinale a opção que indica um ponto do plano cartesiano que equidista dos pontos A e B.

Um sistema de monitoramento de trajetórias robóticas registra a posição de um ponto P(2, -3) que representa um sensor móvel. Em uma etapa de recalibração, esse ponto é inicialmente refletido em relação ao eixo x para corrigir sua orientação. Em seguida, o sistema aplica uma translação descrita pelo vetor v = (4, 1) para reposicionamento final do sensor no plano cartesiano. Considerando essas duas transformações sucessivas, quais são as coordenadas finais CORRETAS obtidas para o ponto processado?

Num círculo de raio R, duas cordas perpendiculares se cruzam em P, a uma distância d do centro. Se L₁ e L₂ são os comprimentos das cordas, determine L₁² + L₂².

Sejam os pontos A(1,2), B(5,6) e C(7,8). Sobre esses pontos:

Um triângulo, plotado em um plano cartesiano, tem dois vértices pertencentes ao eixo x com abscissas que são, respectivamente, as raízes das funções f(x) = 3x + 15 e g(x) = 1 – . O terceiro vértice é o ponto de intersecção dos gráficos dessas funções. A área desse triângulo, em unidades quadradas, é igual a

Em um plano cartesiano, considere dois pontos: P1(15, 20) e P2(45, 60). Qual é a distância entre esses dois pontos, dado que as coordenadas estão representadas em metros?

Em Bumgard, as ruas são dispostas em um padrão de grade. Se a prefeitura está localizada no ponto A(2,5) e uma biblioteca no ponto B(10,9), qual é o ponto médio entre esses dois locais da cidade?

Calcule e marque a opção da distância do ponto P = (2, −1) à reta 3x − 4y + 5 = 0 em forma exata.

Em uma aula de Geometria Analítica, o professor propõe a análise de posições relativas entre retas no plano. Ele solicita que os alunos determinem se duas retas são paralelas, perpendiculares ou concorrentes, dadas as equações 3x + 4y = 7 e 6x + 8y = 12. Qual método analítico mais adequado pode ser utilizado para chegar a uma conclusão?

No projeto de um parque, uma linha reta com extremidades nas coordenadas (200, 400) e (600, 700) representa o caminho principal que liga a entrada ao lago central. Considerando os valores em metros, qual é a medida deste caminho?

Considere que em um plano cartesiano foram marcados dois pontos. O primeiro ponto possui como coordenadas o seguinte par: A (2,6); já o segundo ponto tem o seguinte ponto: B (6,3). Abaixo é possível verificar os pontos localizados. Qual das alternativas apresenta a distância, em unidades de comprimento, entre os dois pontos?

Sejam dois pontos que foram definidos em um plano, identificados como P e Q. Esses pontos apresentam as seguintes coordenadas:P (2,3) Q (10,15)Caso seja necessário determinar a distância entre esses dois pontos, pode-se afirmar que ela é de aproximadamente:

A seguinte figura mostra um jogo de ‘roda-roleta’, onde o apresentador gira uma roleta com vários possíveis prêmios (enumerados de 1 a 6), e o participante ganhará o prêmio que cair no indicador fixo. Supondo que o jogo começa com o indicador na região central da seção n° 1 da roleta, conforme a figura. Se o apresentador gira a roleta 900° no sentido horário, qual número o participante irá obter?

Paula é designer de joias e está trabalhando no esboço de um anel que terá um diamante circular. Ao desenhar o diamante, Paula o posicionou em um plano cartesiano, dando ao seu centro as coordenadas (2, -3), com um raio de 4 mm e elaborou uma equação que, com base neste desenho, lhe permita fazer variações e construir a peça em outros tamanhos. Qual das alternativas abaixo traz essa equação?

Considere 3 pontos inseridos no plano cartesiano cujas coordenadas são A(-3,3), B(-3,-3) e C(1,-3). Admitindo 1 cm para cada unidade de medida no plano, o perímetro desse triângulo em cm é:

Um estudante está escrevendo um artigo e fará um gráfico em forma de triângulo para representar porcentagens, conforme a figura:Os triângulos são equiláteros. O estudante deseja que a área sombreada represente 10% da área total do triângulo maior. Qual deve ser a razão entre h e H (alturas dos triângulos menor e maior, respectivamente) para que isso seja possível?

Observe a seguinte sequência figural formada a partir de um quadrado ABCD de lado 1 cm:A cada novo elemento, novos quadrados são inscritos no quadrado mais interno, conforme a figura. Os vértices dos novos quadrados estão sempre dispostos nos pontos médios dos segmentos aos quais eles pertencem. Por exemplo, o ponto F é o ponto médio do segmento DC. Com essas informações, indique a área em cm2 do próximo elemento da sequência (4° elemento)?

Em um plano cartesiano, os alunos de geometria analítica estão estudando a relação entre a posição em centímetros de alguns pontos e uma circunferência. O centro da circunferência está localizado no ponto O(0,0), na origem do plano cartesiano. Um aluno da turma de Geometria Analítica está analisando a posição do ponto P(3,4) em relação a essa circunferência. Com base no estudo realizado, qual é a distância entre o ponto P(3,4) e o centro da circunferência?

Considere que um arqueiro se posiciona no centro de uma arena de competição, de frente para o norte geográfico. Então ele lança uma flecha que é cravada no centro de um alvo a exatos 37,5 metros à sua frente. Em seguida, ele vira noventa graus para a direita e lança outra flecha que também é cravada no centro de um alvo a exatos 50 metros à sua frente. Assim, é possível afirmar que a distância entre os centros desses dois alvos é igual a: (Considere que em ambos os lançamentos das flechas, elas percorreram o espaço horizontalmente).

Considere que um arqueiro se posiciona no centro de uma arena de competição, de frente para o norte geográfico. Então ele lança uma flecha que é cravada no centro de um alvo a exatos 37,5 metros à sua frente. Em seguida, ele vira noventa graus para a direita e lança outra flecha que também é crava no centro de um alvo a exatos 50 metros à sua frente. Assim, é possível afirmar que a distância entre os centros desses dois alvos é igual a: (Considere que em ambos os lançamentos das flechas, elas percorreram o espaço horizontalmente).

Abaixo é possível observar que foram marcados dois pontos, A e B, no plano cartesiano:Caso seja traçada uma reta entre esses dois pontos, pode-se afirmar que o seu comprimento será igual a, aproximadamente: (Considere que a medida está em unidades de medida).

A distância entre os pontos A(–3, –2) e B(–1, 4) é, em unidades de distância:

Miguel está construindo um logotipo para um trabalho acadêmico do seu curso. Ele começa construindo um quadrado de lado 10 e, exatamente no ponto que representa o centro do quadrado, Miguel deverá inserir o símbolo principal escolhido para o logotipo. A imagem a seguir apresenta o quadrado construído por Miguel no software gráfico que ele está utilizando: No plano cartesiano apresentado, o símbolo principal do logotipo deverá ser inserido no ponto

Abaixo é possível observar que foram marcados dois pontos, A e B, no plano cartesiano. Caso seja traçada uma reta entre esses dois pontos, pode-se afirmar que o seu comprimento será igual a, aproximadamente: (Considere que a medida está em unidades de medida).

Um quadrado inicialmente de lado L foi esticado ao longo de sua diagonal, mantendo-se ainda sua forma quadrada. Se o comprimento final da diagonal do quadrado é 20% maior que o comprimento da diagonal do quadrado inicial, então pode-se dizer que a área aumentou em:

Se o ponto de estação tem coordenadas planimétricas X = Y = 0 e o ponto visado tem coordenadas planimétricas X = 12 e Y = 9, então a distância plana entre o ponto de estação e o ponto visado vale:

Sejam os pontos A = (2, 3) e B = (5, 7) no plano cartesiano. Assinale a alternativa que corresponde à distância entre os pontos A e B.

Um imóvel possui 3 vértices com os seguintes pares de coordenadas x,y (em metros): (0,0) ; (200,0) ; (0,150). Portanto, o valor da área desse imóvel vale:

QUESTÃO 35 – Considere uma circunferência cuja equação é x²+y²−2x−2y=18. Qual é a equação da reta tangente à circunferência dada no ponto de coordenadas (3,5)?

Considere as retas r(t)=(2,3)+t(1,3) e s(t)=(1,2)+t(1,1/2),t∈ℝ. O menor ângulo entre as retas dadas é igual a

Dois jovens estão jogando dardos em uma parede, e resolvem determinar a distância entre os pontos nos quais ficaram presos os dois últimos dardos lançados. Para isso, eles desenham nessa parede um plano cartesiano e determinam os pontos, em unidades de comprimento: (2, 3) e (8, 11). Qual das alternativas traz a distância entre esses dois pontos, em unidades de comprimento?

Uma pessoa parte do ponto A e se move 10 metros em linha reta. Em seguida, muda a direção do movimento girando 90 graus no sentido anti-horário e se desloca mais 10 metros em linha reta. Em seguida, gira mais 90 graus no sentido anti-horário e percorre mais 10 metros em linha reta, chegando ao ponto B. Outra pessoa parte do ponto A em uma direção perpendicular à da primeira pessoa (no início do trajeto), e anda 20 metros em linha reta, chegando ao ponto C. A maior distância possível entre os pontos B e C é, em metros, igual a

Um quadrado que aumenta seu lado numa razão de 5/4, aumentará sua área numa razão de:

Em um quadrado ABCD os pontos M e N são médios dos lados BC e CD, respectivamente. A fração que a área do triângulo AMN representa da área do quadrado ABCD é igual a

A distância entre os pontos A(2,5) e B(–4,3) é:

Em uma brincadeira na escola, Adriana foi colocada de pé, vendada. Ela girou duas voltas e meia em torno do próprio eixo vertical do corpo, no sentido horário para, então, caminhar 20 metros para a frente, a partir da posição em que parou de girar. Betânia foi colocada na mesma posição inicial de Adriana, mas girou três voltas e meia no sentido anti-horário, antes de caminhar por 10 metros para a frente, a partir da posição em que parou de girar. A distância, em metros, do ponto final da movimentação de Adriana até o ponto final da movimentação de Betânia está entre

Existem dois pontos no plano cartesiano, A (3,3) e B (5,6). A distância entre A e B é:

A área da região assinalada na figura é π−1 e PABC é um quadrado, onde P é o centro da curva. A equação da circunferência é a alternativa?

Uma circunferência de raio 3 tangencia o eixo das abcissas, então a única equação possível para essa circunferência é:

O ponto médio entre os pontos (1,m) e (m,1) sempre pertence à função:

A distância entre os pontos A (6,2) e B (14, 8) no plano cartesiano é:

Os coeficientes angular e linear da reta r, que passa por A (0, 2) e B (1, 3), são, respectivamente:

A intersecção de uma circunferência e uma reta, que estão em um mesmo plano, é não vazia se:

Em R3, as retas L1 e L2, não degeneradas — isto é, elas não se reduzem a um único ponto —, são dadas, respectivamente, pelas equações paramétricas P(t) = ( x1, y1, z1) + t(a1, b1, c1) e Q(t) = ( x2, y2, z2) + t(a2, b2, c2), sendo t um número real qualquer. A respeito dessas retas, assinale a opção correta.

As coordenadas dos vértices de um polígono fechado, obtidas através de um levantamento topográfico planimétrico, estão ilustradas na tabela abaixo: Vértices Coordenadas x(m) Y(m) A 10 50 B 60 30 C 80 40 D 60 80 A partir desses dados, qual será a área desse polígono em metros quadrados?

A distância entre a origem e o ponto K ( 4 ;3 ) é igual a: